"Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения"

 

Цели урока.

1) Обучающая:

-          учащиеся умеют определять по внешнему виду уравнения, является ли оно квадратным или нет;

-          умеют определять значения коэффициентов a, b и c;

-          умеют отличать полные квадратные уравнения от неполных;

-          умеют определять вид неполного квадратного уравнения;

-          умеют решать неполные квадратные уравнения первого вида;

2) Развивающая:

-          учащиеся умеют мыслить логически;

-          умеют выделять общее и находить различия;

-          умеют ставить цели урока и определять достигнуты ли они;

3) Воспитывающая:

-          учащиеся владеют математическим языком;

-          умеют проводить взаимоконтроль и  самоконтроль;

-          умеют работать в группах, развивая взаимовыручку, умение выслушивать мнения товарищей, отстаивать свою точку зрения.

 

1.  Целеполагание, мотивация.

На доске написана тема урока.

-    Здравствуйте, садитесь. Запишите в своих тетрадочках число и тему сегодняшнего урока.

-          Зная тему урока, давайте определим, что нам нужно будет сделать сегодня на уроке. Раз в теме написано "определение квадратного уравнения", значит в первую очередь, что вам предстоит сделать? (Выучить определение) (Запись на доске: «1) выучить»)

-          В толпе незнакомых людей Максим сможет отыскать Мишу? (Да). Так если вы выучите определение квадратного уравнения, то какую пользу извлечёте из этого? (Сможем  их находить среди других) (Запись на доске: «2) узнавать»)

-          Если написано "неполные квадратные уравнения", значит… (Есть и полные).

-          А раз есть те и другие, то чему вы должны научиться? (Отличать их друг от друга) (Запись на доске: «3) различать»).

-          А что мы вообще делаем с уравнениями? (Решаем).

-          Значит, чему ещё вы должны научиться сегодня? (Решать квадратные уравнения) (Запись на доске: «4) решать»)

-          Итак, перед вами сегодня на уроке стоят следующие цели: 1) выучить определение квадратного уравнения, 2) научиться определять по виду уравнения является ли оно квадратным или нет, т.е. узнавать, 3) научиться определять вид квадратного уравнения - полное оно или неполное, т.е. различать, 4) научиться решать неполные квадратные уравнения.

-          Значение квадратного уравнения в науке трудно переоценить. Умение решать его не раз выручит вас не только на алгебре или геометрии, но и на уроках физики, химии и даже информатики.

2. Актуализация знаний и умений.

Проверка домашнего задания: решить, если возможно, уравнения:

 

1.      y²+80=81,

у²=81-80,

у²=1,

у=±1.

 

2.      z+4=47,   

z=47-4,

z=43,                                   z-43=0, a=1, b= -43, линейное

                                                   

3.      (2х-3)²-2х(4+2х)=-31,

4x²-12x+9-8x-4x²=-31,

-20x=-31-9,

-20x=-40,                     -20x+40=0, a= -20, b=40, линейное

x=2.

                              

4.      2x²+3х+1=0,                                           ?

   

5.      3(5t-4)-8t=4t+9, 

15t-12-8t-4t=9,

3t=9+12,

3t=21,                             3t-21=0, a=3, b= -21, линейное

t=7.

                                        

6.      12s-4s²=0,

4s(3-s)=0,

4s=0 или 3-s=0,

s=0,          s=3.

 

7.      (y-6)²=25,

y-6=5 или y-6=-5

y=11,        y=1.

 

8.      3x+2x²-8=x²+x+6,

3x+2x²-8-x²-x-6=0,

x²+2x-14=0.                                                  ?                                   

 

На перемене на доске учащиеся записывают свои решения 1,2,3,5,6 и 7 уравнений.

Отдельно на доске выписаны все домашние уравнения. Учащимся розданы листы с этим списком.

 

-          В домашней работе вам нужно было решить, если возможно, следующие уравнения. А что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет).

-          Ребята на доске показали свои решения. Давайте обведём на листах в кружочек те уравнения, решения которых вы видите на доске. Если кто-то не справился полностью с домашним заданием – уже увидел на доске идеи решений и сегодня дома заполнит свои пробелы. Среди выделенных уравнений есть ли такие, название которых вам уже давно известно? (Да, это линейные уравнения)

-          Назовите их номера. (2, 3, 5)

-          А какой общий вид линейного уравнения? (ax+b=0)(формула записывается на доске).

-    Но я, ни в одном из решений не вижу уравнения именно такого вида! Почему вы решили, что здесь есть именно линейные уравнения? (Их можно свести к линейным)

-          Как? (Перенести слагаемое из левой части в правую, разделить обе части уравнения на одно и тоже число, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).

-          Давайте тогда запишем на своих листах около домашних линейных уравнений их запись в общем виде и выпишем значения коэффициентов a и b. (Работа по листам)

-    Что у вас получилось? (Учащиеся диктуют, на доске дублируется запись из листов).

-          А известно ли вам, как называются уравнения 1, 6 и 7? (Нет).

-          А 4 и 8? (Нет).

 

3. Объяснение нового материала:

 

-    Когда дома вы пытались решить 8 уравнение, то после выполненных упрощений какой получился вид у этого уравнения? (х²+2х-14=0. Запишите его в свои листы. Запись дублируется на доске)

-          Что можно выделить общего в уравнениях 4 и 8, которые вы не смогли пока решить? (1) есть х², 2) есть х, 3) в правой части 0, 4) есть число.)(На доске выделается цветом общее, на листах – карандашом).

-          А чем отличаются данные уравнения? (Числовыми коэффициентами при х и числом).

-          Т.к. эти числа разные, то математики договорились обозначать коэффициент при х²  через а, при х - через b, число - через с. Тогда оба уравнения можно будет представить в каком виде? (ax²+bx+c=0) (Запишите формулу в тетрадь, запись дублируется на доске).

-          А как вы думаете, любыми ли числами могут быть а, b и с? (Нет, а не может быть 0).

-          Почему? (Уничтожается х²).

-          Итак, определение квадратного уравнения. Это уравнение вида ax²+bx+c=0, где: 1) х - переменная, 2) a, b, c Î R, 3) а¹0. Запишите определение в тетради. (Запись в тетради и на доске)

-    Посмотрим на наши цели. Какой из них мы уже достигли? (Первой).

-    Проверим. Что называется квадратным уравнением? (Определение)

-          Коэффициенты a, b и с носят специальные названия: а - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член.

-          А только ли икс мы можем обозначать переменную? (Нет).

-          Запишите в своих тетрадях общий вид квадратного уравнения, где переменная будет обозначена другой буквой. (Ученик пишет на доске)

-          Какое выражение стоит в левой части уравнения? (Сумма).

-          Какое преобразование можно делать с суммой, и при этом не изменится её значение? (Переставлять местами слагаемые).

-          Запишите в своих тетрадях, как может выглядеть квадратное уравнение иначе, если поменять местами слагаемые? (с+ax²+bx=0, и т.д.)(Ученик записывает на доске свои варианты).

-          Вы убедились, что квадратное уравнение можно записать по-разному, но в общем виде оно выглядит только так: ax²+bx+c=0 и никак иначе. Почему? Просто так удобнее - ведь в алфавите буквы располагаются a, b, c, d…

-          Во втором блоке листа представлено несколько уравнений. Подчеркните из них те, которые являются квадратными.

 

1)      3,7х²-5х+1=0,         a=3,7      b=-5       c=1

2)      48х²-х³-9=0,

3)      1-12х=0,

4)      2,1х²+2х-²/₃=0,       a=2,1     b=2        c=²/₃

5)      +3х-45=0,

6)      7х²+13=0,              a=7       b=0       c=13

7)      х²-7х+=0,

8)      х²+2х=0                  a=1      b=2       c=0

 

-          Какие уравнения вы подчеркнули? (1, 4, 6, 8).

-          Почему другие уравнения не будут квадратными? (Они другого вида).

-          Обратимся к нашим целям. Какой цели мы достигли теперь? (Второй – узнавать)

-          Для каждого квадратного уравнения выпишите рядом значения коэффициентов а=, b=, с=.

-    Что у вас получилось? Проверьте друг у друга ответы и исправьте ошибки.

-          А теперь придумайте и запишите в тетрадь каждый своё квадратное уравнение. Постарайтесь для коэффициентов использовать любые допустимые значения.

-          Проверьте друг у друга - а квадратные ли уравнения получились, если нет - исправьте ошибку. (Кто-нибудь запишет своё уравнение на доске).

-          Итак, коэффициенты b и c в отличии от а могут быть и нулями. Что произойдёт в этом случае с общим видом квадратного уравнения? (В этом случае в квадратном уравнении пропадает одно или несколько слагаемых).

-          Тогда как можно назвать получающиеся уравнения? (Неполными).

-          Запишем в тетрадях: если  1) b=0 или 2) c=0 или 3) b=0  и c=0, то – неполное (Запись дублируется на доске).

-          От чего же зависит вид неполного квадратного уравнения? (От того, какой коэффициент - b или с - равен нулю).

-          Давайте рассмотрим все возможные варианты. (1) Если b=0, то квадратное уравнение приобретает вид ax²+c=0, где с¹0, 2) если с=0, то ax²+bx=0, где b¹0, 3) если с=0 и b=0, то ax²=0).

-          Запишите их себе в тетрадь.

-          Переверните лист. В третьем блоке выберите из предложенных неполные квадратные уравнения и запишите рядом с каждым из них номер, соответствующий виду неполного уравнения и значения всех коэффициентов.

1)      3,7х²-5х+1=0,

2)      -х²=0                         (3)             a=-1, b=0, c=0

3)      2,1х²+2х-2/3=0,

4)      2х²-134=0                 (1)             a=2, b=0, c=-134

5)      -х²-8х+1=0,

6)      -10+3х+х²=0.

7)      -3х=0.                 (2)             a=1/7, b=-3, c=0

-    Какие у вас получились ответы? (Запись на доске) Проверьте и исправьте, если вы допустили ошибки.

-          Какой цели мы достигли теперь? (Третьей – различать).

-          Перед нами осталась последняя цель – научиться решать неполные квадратные уравнения. Сегодня мы только начнём движение к этой цели – научимся решать неполные квадратные уравнения первого вида. Вернитесь к блоку с домашними уравнениями, есть ли среди них неполное квадратное первого вида? (Первое).

-          А вы его уже решили? (Да)

-          Когда? (В домашней работе)

-          Так что вы скажите о последней цели? (Мы её тоже достигли)

-          Оказывается, вы уже раньше научились решать такие уравнения, только пока не знали, как они называются. Теперь вы это знаете. Как они называются? (Неполные квадратные уравнения первого вида.)

-          Нам осталось только записать алгоритм решения таких уравнений. Итак, пусть ax²+c=0, где с¹0. С чего мы начинаем решение? (1) перенести свободный член в правую часть, ax²= -с)

-          Что дальше? ( 2) разделить обе части уравнения на а¹0, x²= -)

-          Что дальше? ( 3) если ->0, то два корня х₁= и х₂=-; если -<0, то корней нет,

-          Что дальше? (Записать ответ).(Запись на доске алгоритма и в тетрадях).

-          Значит, сколько может быть корней в неполном квадратном уравнении первого вида? (Два или вообще нет корней).

-          На ваших листах в четвёртом блоке записано несколько уравнений. Определите вид этих уравнений. (Неполные квадратные первого вида).

-    Как вы будете их решать? (Проговаривается алгоритм решения, для каждого этапа идёт одновременная запись решения всех уравнений на доске и на листах).

 

1) 2x²-18=0,            2) 3- 12x²=0,                   3) 25+ x²=0

    2x²=18                     - 12x²=-3                          x²=-25,   -25<0

    x²=9,  9>0                12x²=3                              корней нет. 

    х=-3,  х=3                 x²=1/4,   ¼>0

                                      х=1/2,  х=-1/2

-          Теперь прямо на листах около решённых уравнений решите самостоятельно неполное квадратное уравнение, применяя данный алгоритм:   I - 509(а), II - 509(д).

-          Проверьте свои решения и исправьте, если допустили ошибки.

 

3. Закрепление изученного материала:

 

-          Найдите на ваших листах пятый блок. Из предложенных уравнений выберите неполные квадратные первого вида и решите их прямо на этих листах.

 

1)      6х²-24=0,

     6х²=24,

     х²=4,

     х=±2.

 

2)      7k-14k²=0,

3)      12g²=0,

4)      5y²-4y=0,

5)      2h+h²=0,

6)      36+х²=0.

     х²=-36,

    корней нет.

 

4. Рефлексия:

 

-          Итак, давайте подведём итоги сегодняшнего урока. Что вы сегодня выучили? (Определение квадратного уравнения).

-          Что научились делать? (Узнавать квадратные уравнения, отличать неполные квадратные от полных, решать неполные квадратные уравнения первого вида).

-    Как вы думаете, чему вы научитесь на следующем уроке? (Решать неполные квадратные уравнения второго и третьего вида).

 

5.  Домашнее задание:

 

-          Дома вам предстоит закрепить сегодняшний материал и решить на выбор: №№505, 509(в), 507(а) или задание посложнее: №№505(в, е), 509(б, д), 507(г).  Запишите задание в дневники, сдайте мне ваши листы, я проверю самостоятельные задания и выставлю всем отметки. Урок окончен.